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By Povl Thomsen

ISBN-10: 2225855315

ISBN-13: 9782225855313

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E +00 3. jP 1 x 3 x ... jP (2p)! jP (2p)! jP C P +00 ~ v'1f, ~oo 1 2 2p C 2 P (~)2P VIP (~)2p ce qui donne C ~ +00 = Stirling: n! :)n. +00 e C _ . J2 y'2; , puis la formule de DÉRIVATION DES FONCTIONS VECTORIELLES [3J • Dérivée en un point • Fonctions de classe ck • Ck -difféomorphismes iL 'essentiel du cours 1 ... 1 est un intervalle de ]R et F un espace vectoriel normé de dimension finie. En PT, on se limitera aux cas F = ]Rn ou F = ({; . • Dérivée en un point • Définitions - Une fonction f : 1 ment T(t) ---+ F est dérivable en a E 1 si le taux d'accroisse- f(t) - f(a) admet une limite finie en a.

En conclusion, L somme étant alors 1. Un converge si, et seulement si, 0". 0 (7r) , sa Séries à termes constants 43 N c) La fonction de x définie par SN(X) = L nxn- 1 est la dérivée de la n=l fonction TN définie par TN(x) N 1 _ xN+l ~ 1-x = '"" xn = - - - n=O N + NX N + 1 1 1 1 • D ,ou' S N -- TfN ( x ) -_ 1 - (N +(11)x _ x)2 ; pUisque x < ,on a : +00 s= '""nxn-l ~ n=l = SN lim N---++oo = 1 (1 - x)2 . On retrouve ce résultat plus simplement à l'aide de la notion de série entière (cf Tome 2). 1 = d) On a arctan 1 + n + n 2 1 arctan 1 + n (n + 1) , ce qui fait penser à la formule pour arctan x + arctan y .

Par conséquent, L Wn , et donc L Vn , diverge. d) Cas a> 1 On montre que vn encore. Conclusion: ) L ~: à partir d'un certain ~ang, donc Vn L converge si, et seulement si, a < 1 . Les corrections de problèmes _______ J Soit E > O. Comme a~ rv an, à partir d'un certain rang r on a: (l-E)ak ~ a~ ~ (1 +E)ak . 1. Supposons que les séries convergent. En sommant les inégalités précédentes pour k E {n + l, n + 2, . } , où n + 1 ~ r , il vient: +00 L (1 - E) +00 L ak ~ k=n+l a~ ~ (1 + E) k=n+l +00 L ak, k=n+l ou encore : (1 - E) Rn ~ R~ ~ (1 Rn '" Ainsi, on a bien +00 + E) Rn .

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ANALYSE 1. Espaces vectoriels normés. Séries à termes constants. Dérivation. Intégration SPÉ • PC • PSI • PT by Povl Thomsen


by Kevin
4.1

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